حل تمرین صفحه 40 ریاضی یازدهم تجربی

مثلث $ABC$ در $A$ قائم‌الزاویه است. ارتفاع $AH$ بر وتر $BC$ عمود است. فرض می‌کنیم طول اضلاع قائم: $AB = c$, $AC = b$ و وتر: $BC = a$. ارتفاع وارد بر وتر $AH = h$. ## ۱. محاسبهٔ مساحت به دو روش **روش اول (با استفاده از اضلاع قائم)**: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{حاصل ضرب اضلاع قائم} = \frac{1}{2} b c$$ **روش دوم (با استفاده از وتر و ارتفاع وارد بر آن)**: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \text{وتر} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} a h$$ ## ۲. تشکیل تناسب با مساوی قرار دادن دو عبارت به دست آمده برای مساحت: $$\frac{1}{2} b c = \frac{1}{2} a h$$ با ضرب طرفین در $2$: $$b c = a h$$ از این تساوی، تناسب‌های مختلفی می‌توان به دست آورد. ساده‌ترین تناسب، نسبت بین ارتفاع و اضلاع است: $$\frac{b}{a} = \frac{h}{c}$$ یا به شکل دیگر: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{h}$$ (رابطهٔ $bc = ah$، که همان **قضیهٔ واسطه‌های هندسی در مثلث قائم‌الزاویه** است، خود یک تساوی مهم است.)

این قضیه، **قضیهٔ پاره‌خط میانی مثلث** نام دارد. **فرض**: در $\triangle ABC$، نقاط $D$ و $E$ به ترتیب وسط اضلاع $AB$ و $AC$ هستند. **حکم**: $DE \parallel BC$ و $DE = \frac{1}{2} BC$. ## اثبات **۱. اثبات موازی بودن ($DE \parallel BC$)**: * چون $D$ وسط $AB$ است: $\frac{AD}{DB} = 1$. * چون $E$ وسط $AC$ است: $\frac{AE}{EC} = 1$. بنابراین: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = 1$. طبق **عکس قضیهٔ تالس**، اگر یک پاره‌خط دو ضلع مثلث را به یک نسبت تقسیم کند، با ضلع سوم موازی است. $$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow DE \parallel BC$$ **۲. اثبات نصف بودن ($DE = \frac{1}{2} BC$)**: از آنجایی که $\frac{AD}{AB} = \frac{AD}{AD + DB} = \frac{AD}{2AD} = \frac{1}{2}$، طبق **تعمیم قضیهٔ تالس**، نسبت پاره‌خط موازی به ضلع موازی برابر با نسبت قسمت کوچک به ضلع کامل است: $$\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow DE = \frac{1}{2} BC$$ **نتیجه**: پاره‌خطی که وسط‌های دو ضلع مثلث را به هم وصل می‌کند، **موازی ضلع سوم و نصف آن** است.

در مثلث $\triangle ABC$، پاره‌خط $PQ \parallel BC$ است. از قضیهٔ تالس و تعمیم آن استفاده می‌کنیم. اندازه‌های داده شده: $PB = 6, QC = 3, AC = 5, BC = 9$. (توجه: اندازهٔ $AC$ به صورت $AQ + QC = 5$ نیست، بلکه $QC = 3$ و $AC=5$ است، پس $AQ = 5 - 3 = 2$). **۱. محاسبهٔ $AP$ (با استفاده از قضیهٔ تالس)** $$\frac{AP}{PB} = \frac{AQ}{QC}$$ $$\frac{AP}{6} = \frac{2}{3}$$ $$3 \times AP = 2 \times 6 \Rightarrow 3 \times AP = 12 \Rightarrow AP = 4$$ $$\text{طول } AP: 4$$ **۲. محاسبهٔ $PQ$ (با استفاده از تعمیم قضیهٔ تالس)** ابتدا طول ضلع کامل $AB$ را حساب می‌کنیم: $AB = AP + PB = 4 + 6 = 10$. طبق تعمیم قضیهٔ تالس: $$\frac{PQ}{BC} = \frac{AP}{AB}$$ $$\frac{PQ}{9} = \frac{4}{10}$$ $$10 \times PQ = 4 \times 9 \Rightarrow 10 \times PQ = 36$$ $$PQ = \frac{36}{10} = 3.6$$ $$\text{طول } PQ: 3.6$$

## الف) $\frac{a}{10 + a} = \frac{b}{8 + b}$ **۱. معکوس کردن تناسب**: $$\frac{10 + a}{a} = \frac{8 + b}{b}$$ **۲. تفکیک کسرها**: $$\frac{10}{a} + \frac{a}{a} = \frac{8}{b} + \frac{b}{b}$$ $$\frac{10}{a} + 1 = \frac{8}{b} + 1$$ **۳. ساده‌سازی**: $$\frac{10}{a} = \frac{8}{b}$$ **۴. یافتن نسبت $\frac{a}{b}$**: با تعویض جای $a$ و $8$ (خاصیت تعویض جای وسطین): $$\frac{10}{8} = \frac{a}{b} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{4}$$ ## ب) $\frac{3a + 10}{10 + 2a} = \frac{3b + 7}{7 + 2b}$ **۱. تبدیل تناسب به فرم ساده با استفاده از تفاضل**: این تناسب به صورت کلی $\frac{ma + c}{c + na} = \frac{mb + d}{d + nb}$ است که از تناسب ساده $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ به دست می‌آید. بنابراین، انتظار داریم که $\frac{a}{b} = \frac{10}{7}$ باشد. **۲. استفاده از طرفین وسطین**: $$(3a + 10)(7 + 2b) = (3b + 7)(10 + 2a)$$ $$21a + 6ab + 70 + 20b = 30b + 6ab + 70 + 14a$$ **۳. ساده‌سازی و یافتن نسبت**: عبارات $6ab$ و $70$ از طرفین حذف می‌شوند: $$21a + 20b = 30b + 14a$$ $$21a - 14a = 30b - 20b$$ $$7a = 10b$$ $$ \frac{a}{b} = \frac{10}{7}$$

در مثلث $\triangle ABC$، پاره‌خط $ST \parallel BC$ است. از قضیهٔ تالس استفاده می‌کنیم. اندازه‌های داده شده: $AS = 8, SB = 4, AT = 3y + 3, TC = 6, BC = 3x + 1$. **۱. یافتن $y$ (با استفاده از قضیهٔ تالس)** $$\frac{AS}{SB} = \frac{AT}{TC}$$ $$\frac{8}{4} = \frac{3y + 3}{6}$$ $$2 = \frac{3y + 3}{6}$$ $$12 = 3y + 3$$ $$9 = 3y \Rightarrow y = 3$$ $$\text{مقدار } y: 3$$ **۲. یافتن $x$ (با استفاده از تعمیم قضیهٔ تالس)** ابتدا طول اضلاع کامل را محاسبه می‌کنیم: $$AB = AS + SB = 8 + 4 = 12$$ طبق تعمیم قضیهٔ تالس: $$\frac{ST}{BC} = \frac{AS}{AB}$$ (توجه: طول $ST$ از روی شکل $6$ است.) $$\frac{6}{3x + 1} = \frac{8}{12}$$ $$\frac{6}{3x + 1} = \frac{2}{3}$$ با طرفین وسطین: $$6 \times 3 = 2 \times (3x + 1)$$ $$18 = 6x + 2$$ $$16 = 6x \Rightarrow x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$$ $$\text{مقدار } x: \frac{8}{3}$$

در ذوزنقهٔ $ABCD$ داریم: $AB \parallel ST \parallel DC$. می‌خواهیم نشان دهیم که پاره‌خط $ST$ (که ساق‌ها را قطع کرده) ساق‌ها را به نسبت مساوی تقسیم می‌کند. ## اثبات (رسم قطر $AC$) **۱. رسم قطر**: قطر $AC$ را رسم می‌کنیم. فرض می‌کنیم این قطر، پاره‌خط $ST$ را در نقطهٔ $O$ قطع کند. **۲. استفاده از قضیهٔ تالس در $\triangle ADC$**: چون $SO \parallel DC$ در $\triangle ADC$، طبق قضیهٔ تالس: $$(I) \quad \frac{AS}{SD} = \frac{AO}{OC}$$ **۳. استفاده از قضیهٔ تالس در $\triangle ABC$**: چون $AB \parallel OT$ در $\triangle ABC$ (اگر $AB \parallel ST$ را فرض کنیم، $OT \parallel AB$ هم برقرار است)، طبق قضیهٔ تالس: $$(II) \quad \frac{BT}{TC} = \frac{AO}{OC}$$ **۴. نتیجه‌گیری**: از تساوی‌های $(I)$ و $(II)$ که هر دو برابر نسبت $\frac{AO}{OC}$ هستند، نتیجه می‌شود: $$\frac{AS}{SD} = \frac{BT}{TC}$$ **حکم ثابت شد**: پاره‌خطی موازی با قواعد ذوزنقه که ساق‌ها را قطع کند، ساق‌ها را به نسبت مساوی تقسیم می‌کند.

حکم عکس یک قضیه به سادگی با جابجایی فرض و حکم قضیهٔ اصلی به دست می‌آید. ## الف) مثلث متساوی‌الاضلاع * **قضیه**: اگر در مثلثی سه ضلع برابر باشند (متساوی‌الاضلاع)، آنگاه سه زاویه نیز برابر خواهند بود (متساوی‌الزاویه). * **حکم عکس**: **اگر در مثلثی سه زاویه برابر باشند (متساوی‌الزاویه)، آنگاه سه ضلع نیز برابر خواهند بود (متساوی‌الاضلاع).** ## ب) متوازی‌الاضلاع * **قضیه**: اگر در یک چهارضلعی اضلاع روبه‌رو موازی باشند (متوازی‌الاضلاع)، در این صورت زوایای مقابل با هم برابرند. * **حکم عکس**: **اگر در یک چهارضلعی زوایای مقابل با هم برابر باشند، آنگاه اضلاع روبه‌رو موازی خواهند بود (متوازی‌الاضلاع).** ## پ) چهارضلعی محاطی * **قضیه**: اگر رأس‌های یک چهارضلعی روی یک دایره قرار داشته باشند (محاطی)، در این صورت زوایای مقابل آن چهارضلعی مکمل‌اند (مجموع $180^{\circ}$). * **حکم عکس**: **اگر در یک چهارضلعی زوایای مقابل مکمل باشند، آنگاه رأس‌های آن چهارضلعی روی یک دایره قرار خواهند داشت (محاطی).** ## ت) نامساوی‌های ارتفاع و ضلع * **قضیه**: در مثلث $\triangle ABC$، اگر ارتفاع‌های متناظر با اضلاع $a$ و $b$ را $h_a$ و $h_b$ بنامیم، اگر $h_a \neq h_b$ باشد، آنگاه «ضلع متناظر به ارتفاع بزرگ‌تر» کوچک‌تر از «ضلع مقابل به ارتفاع کوچک‌تر» است. $$\text{فرض}: h_a < h_b \quad \text{حکم}: a > b$$ * **حکم عکس**: **اگر در یک مثلث دو ضلع نابرابر باشند، آنگاه ارتفاع متناظر با ضلع بزرگ‌تر، کوچک‌تر از ارتفاع متناظر با ضلع کوچک‌تر است.** $$\text{فرض}: a > b \quad \text{حکم}: h_a < h_b$$

یک **مثال نقض**، مثالی خاص است که نشان می‌دهد یک حکم کلی (گزارهٔ همگانی) نادرست است. ## الف) حکم: هیچ عدد اولی بزرگ‌تر از $127$ وجود ندارد. * **مثال نقض**: عدد **$131$** یا **$137$**. * **توضیح**: $131$ عددی است که فقط بر $1$ و خودش بخش‌پذیر است، بنابراین اول است و $131 > 127$. ## ب) حکم: مساحت هر مثلث از مساحت هر مربع بیشتر است. * **مثال نقض**: مربع با ضلع $a = 10$ و مثلث با قاعده $b=1$ و ارتفاع $h=1$. * **توضیح**: $$\text{مساحت مربع} = a^2 = 10^2 = 100$$ $$\text{مساحت مثلث} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (1)(1) = 0.5$$ چون $0.5 < 100$، حکم کلی نادرست است. ## پ) حکم: در هر مثلث اندازهٔ هر ضلع از اندازهٔ هر ارتفاع بزرگ‌تر است. * **مثال نقض**: مثلث قائم‌الزاویهٔ $ABC$ با اضلاع قائم $c=1$ و $b=100$. * **توضیح**: ارتفاع $h_c$ متناظر با ضلع $c=1$، همان ضلع $b=100$ است. $$\text{ارتفاع } h_c = b = 100$$ $$\text{ضلع } c = 1$$ چون $100 > 1$ (اندازهٔ ضلع ($1$) از اندازهٔ ارتفاع ($100$) بزرگ‌تر نیست)، حکم کلی نادرست است. ## ت) حکم: در هر مثلث میانه و عمود منصف متناظر به هر ضلع بر هم منطبق‌اند. * **مثال نقض**: یک **مثلث مختلف‌الاضلاع** (که دو ضلع نابرابر داشته باشد). * **توضیح**: میانه و عمود منصف یک ضلع تنها در **مثلث‌های متساوی‌الساقین** (و متساوی‌الاضلاع) بر هم منطبق‌اند. در یک مثلث مختلف‌الاضلاع، این دو خط متمایز هستند. (عمود منصف لزوماً از رأس نمی‌گذرد و میانه لزوماً بر ضلع عمود نیست.)

این قضیه بیان می‌کند که در یک صفحه، از یک نقطه روی یک خط، **فقط یک خط عمود** بر آن می‌توان رسم کرد. **۱. فرض قضیه**: نقطهٔ $A$ روی خط $d$ قرار دارد. **۲. حکم قضیه (آنچه باید ثابت شود)**: فقط یک خط عمود بر $d$ از $A$ می‌گذرد. ## برهان خلف **۱. فرض خلف**: فرض می‌کنیم بتوان **دو** خط متمایز $l_1$ و $l_2$ را از نقطهٔ $A$ رسم کرد که هر دو بر خط $d$ عمود باشند. $$\text{فرض خلف}: l_1 \perp d \text{ و } l_2 \perp d$$ **۲. تناقض**: * چون $l_1 \perp d$ و $l_2 \perp d$، هر دو خط $l_1$ و $l_2$ با خط $d$ زاویه‌ای برابر $90^{\circ}$ می‌سازند. * در هندسهٔ اقلیدسی، زاویهٔ بین دو خط متمایز که از یک نقطه عبور می‌کنند باید مقداری غیر صفر داشته باشد. * چون $l_1$ و $l_2$ هر دو در $A$ همدیگر را قطع کرده‌اند و هر دو بر $d$ عمودند، زاویهٔ بین آن‌ها در نقطهٔ $A$ باید صفر باشد تا هر دو بر یکدیگر منطبق شوند. اما فرض خلف بیان می‌کند که این دو خط **متمایز** هستند. * نتیجه می‌گیریم که دو خط متمایز که از یک نقطه می‌گذرند، نمی‌توانند هر دو با یک خط (خط $d$) زاویهٔ $90^{\circ}$ یکسانی بسازند، مگر اینکه بر هم منطبق باشند ($l_1 = l_2$). **۳. نتیجه‌گیری**: فرض خلف ($ ext{وجود دو خط متمایز}$) ما را به تناقض می‌رساند، زیرا اصول هندسه حکم می‌کند که دو خط متمایز نمی‌توانند از یک نقطه عبور کرده و هر دو بر یک خط عمود باشند. بنابراین، **حکم اولیه درست است**: نمی‌توان از یک نقطهٔ روی یک خط، دو خط متمایز عمود بر آن رسم کرد.